クレタ人パラドックス

リンクさせてもらっている三ヶ猫のHOMEPAGE!!のナキゴエというコーナーに
こんなことが書いてありました。

『あるクレタ人が言った次の文は嘘か本当か判定しなさい。「すべてのクレタ人はうそしか言わない」』

管理猫さんに『解けますか??』と言われ、
売られたケンカは買うのが礼儀だと思い、というのは冗談ですが、
解いてみようと思います。



問題をもう一度書きましょう。
あるクレタ人が言った次の文は嘘か本当か判定しなさい。
『すべてのクレタ人はうそしか言わない』


この言葉を言っているクレタ人をAさんとします。
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さて、Aさんの言っている事が本当だとすると、
『すべてのクレタ人はうそしか言わない』ことになります。(当たり前ですねぇ)
で、Aさんもクレタ人ですから、Aさんも嘘しか言わないことになります。
ということは、Aさんの言っている事は嘘ということです
これは、『Aさんの言っている事が本当だとする』という仮定と矛盾します
矛盾が生じるため、Aさんは本当のことを言っていることはありえない。
すなわち嘘を言っているということになります。

という事で、Aさんは嘘を言っていることになるのですが、
嘘を言っているのか、実際に判定してみましょう。
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Aさんの言っている事が嘘だと仮定します
そうすると、Aさんの言葉のどの部分が嘘なのか、を考えなければいけません。
そして、『Aさんが嘘を言っている』という仮定と矛盾するか調べてみましょう。

『すべての』が嘘の場合
『すべての』すなわち、all of ~の部分が嘘の場合。
嘘だとすると、本当の内容にはどんな場合があるのでしょうか。
『some of クレタ人』と『no クレタ人』 の場合が考えられますね。

前者の場合は『クレタ人の中にはうそしか言わない人がいる
というのが本当の内容になります。
Aさんが嘘しか言わない人ならば、仮定とは矛盾しません。Aさんは嘘をついていると仮定していますから。
Aさんが時々嘘を言う人ならば、この内容では『時々嘘を言う人』の存在については言及されていないので、矛盾しているかは判断できません。

後者の場合は『うそしか言わないクレタ人はいない
というのが本当の内容になります。
この問題では、Aさんは嘘しか言っていませんからこの時点では矛盾しますが、
何か一つでも本当のことを言えば矛盾はなくなります。
Aさんが時々嘘を言う人であるとして矛盾するかどうかについては前者の場合と同様です。

『うそしか言わない』が嘘の場合
ここが嘘だとすると、本当の内容にはやはり2通りが考えられます。
『嘘を言うことがある』場合と、『本当の事しか言わない』場合。

前者の場合は『すべてのクレタ人は嘘をいうことがある
というのが本当の内容であり、仮定と矛盾しませんね。

後者の場合は『すべてのクレタ人は本当の事しか言わない
というのが本当の内容となります。
Aさんは嘘を言っていると仮定してますから、この場合は矛盾します。

以上より、
条件つきではあるものの、Aさんは嘘を言っていると判断できます。

こんな感じですがいかがでしょうか。
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by sasayanx | 2004-12-15 00:51 | 日々のメモ  

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